Question

18．函数f（x）=cos（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，如果x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x₁+x₂）即可得解．

解答 解：∵由图知，T=2×（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，ω＞0，
∴ω=2，
∵函数的图象经过（-$\frac{π}{6}$，0），可得：0=sin（-$\frac{π}{6}$×2+φ），有：-$\frac{π}{6}$×2+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∵f（x₁）=f（x₂），可得x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．