Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=CC₁=1，BC=

2

，P、E分别是BC₁和BC上的两个动点，则A₁P+PE的最小值为

 

．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：解三角形

分析：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，利用点到直线之间垂线段最短，即可求出满足条件的P的位置，然后解三角形即可求解．

解答： 解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，
连A₁C，则A₁E与BC垂直时的长度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=CC₁=1，BC=

2

，
∴BC₁=

3

，A₁C₁=1，A₁B=2，BC=

2

，CC₁=1，
即∠A₁C₁B=90°，∠A₁BC₁=30°，
又∵sin∠CBC₁=

3

3

，cos∠CBC₁=

6

3

，
故sin∠CBA₁=

3+ 6

6

，
故A₁E=

3+ 6

6

×2=

3+ 6

3

，
故答案为：

3+ 6

3

．

点评：本题主要考查空间线段长度的最值计算，利用平面展开法将空间问题转化为平面点到直线之间垂线段最短是解决本题的关键，解三角形即可求解长度问题，综合性较强．