Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=

1

2

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1-an2

（n∈N^•），则b₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据a₁=

1

2

，a_n+b_n=1，先求得b₁的值，再根据b_n+1=

bn

1-an2

，得到b_n+1与b_n的递推关系，根据b_n+1与b_n的递推关系，构造数列{

1

bn-1

}，利用等差数列的定义，证明

1

bn+1-1

-

1

bn-1

是一个常数，即可证得数列{

1

bn-1

}是等差数列，利用等差数列的通项公式，求出

1

bn-1

表达式，即可求得b₂₀₁₄．

解答： 解：解：（1）∵a_n+b_n=1，且b_n+1=

bn

1-an2

，
∴b_n+1=

1

2-bn

，
∵a₁=

1

2

，且a₁+b₁=1，
∴b₁=

1

2

，
再根据b_n+1=

1

2-bn

，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1，
∵b₁=

1

2

，
∴

1

b1-1

=-2．
∴数列{

1

bn-1

}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，
∴

1

bn-1

=-n-1，
∴b_n=

n

n+1

．
则b₂₀₁₄=

2014

2015

．
故答案为：

2014

2015

．

点评：本题考查了等差数列的应用，以及构造新数列求通项公式．属中档题．