Question

10．已知$f（x）={sin^2}x+cosx，x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，则f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可．

解答 解：∵f（x）=sin²x+cosx=1-cos²x+cosx=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-1≤cosx-$\frac{1}{2}$≤0，
∴-1≤-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$≤0，
∴$\frac{1}{4}$≤-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$≤$\frac{5}{4}$，
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．