Question

已知函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，若a，b∈[-1，5]，且当x₁，x₂∈[a，b]时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，则b-a的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

分段求出g（x），分析其单调性，由x₁，x₂∈[a，b]时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立说明函数在[a，b]上为增函数，求出a为0，b等于5，则b-a的最大值可求．

解答： 解：∵a，b∈[-1，5]，且x₁，x₂∈[a，b]，
∴a＜b，
∵

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴g（x）在区间[a，b]上单调第增，
∵函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，
∴g（x）=

f1(x)，x∈[-1，0]∪[3，5] f2(x)，x∈[0，3]

当x∈[-1，0）时，g（x）=1-x，单调减；
当x∈[0，3]时，g（x）=

1

3

x+1，单调增；
当x∈[3，5]时，g（x）=x-1，单调递增．
∴a=0，b=5．
b-a的最大值为5-0=5．
故选：D．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，是中档题．