【题目】己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=
(1)求证:数列{ }为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:
(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn , 对任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.
【答案】
(1)证明:数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,
∴ =
an+1,即
=2
,
∴数列{ }是以a1为首项,以2为公比的等比数列
(2)解:由(1)可得: =
,∴
=n
4n﹣1.
∵bn= ,∴b1=
,b2=
,b3=
,
∵数列{bn}是等差数列,∴2× =
+
,
∴ =
+
,
化为:16t=t2+48,解得t=12或4
(3)解:数列{bn}是等差数列,由(2)可得:t=12或4.
①t=12时,bn= =
,Sn=
,
∵对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,
∴8 ×
﹣a14n2=16×
,
∴
=
,n=1时,化为:﹣
=
>0,无解,舍去.
②t=4时,bn= =
,Sn=
,
对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,
∴8 ×
﹣a14n2=16×
,
∴n =4m,
∴a1=2 .∵a1为正整数,∴
=
k,k∈N*.
∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ,n∈N*,m∈N*,且
=
k,k∈N*}
【解析】(1)数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化为: =2×
,即可证明.(2)由(1)可得:
=
,可得
=n
4n﹣1 . 数列{bn}满足bn=
,可得b1 , b2 , b3 , 利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值,化简8a12Sn﹣a14n2=16bm , 即可得出a1 .
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【题目】某校高三年级实验班与普通班共1000名学生,其中实验班学生200人,普通班学生800人,现将高三一模考试数学成绩制成如图所示频数分布直方图,按成绩依次分为5组,其中第一组([0, 30)),第二组([30, 60)),第三组([60, 90)),的频数成等比数列,第一组与第五组([120, 150))的频数相等,第二组与第四组([90, 120))的频数相等。
(1)求第三组的频率;
(2)已知实验班学生成绩在第五组,
在第四组,剩下的都在第三组,试估计实验班学生数学成绩的平均分;
(3)在(2)的条件下,按分层抽样的方法从第5组中抽取5人进行经验交流,再从这5人中随机抽取3人在全校师生大会上作经验报告,求抽取的3人中恰有一个普通班学生的概率。
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【题目】已知方程.
()若已知方程表示椭圆,则
的取值范围为__________.
()语句“
”是语句“方程
”表示双曲线的(_____________).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充在条件 D.既不充分也不必要条件
()根据(
)的结论,以“如果
那么
”的形式写出一个正确命题,记作命题
,则
命题:__________.
()套用量词命题的格式:“
,
”或“
,
”,改写(
)中命题
,
表述形式为:__________.
()写出(
)中命题
的逆命题,记作命题
,则
命题:__________.
()判断(
)中命题
的真假,并陈述判断理由.
命题为__________命题,因为__________.
()若已知方程表示椭圆,则该椭圆两个焦点的坐标分别为__________.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,四边形
为矩形,
为等腰三角形,
,平面
平面
,且
,
,
分别为
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)证明:平面平面
;
(3)求四棱锥的体积.
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【题目】已知过抛物线的焦点
,斜率为
的直线交抛物线于
两点,且
.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点
作抛物线的两条弦
和
,且
,判断直线
是否过定点?并说明理由.
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【题目】关于函数f(x)=4sin(2x+), (x∈R)有下列命题:
①y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
② y=f(x)可改写为y=4cos(2x-);
③y=f(x)的图象关于(-,0)对称;
④ y=f(x)的图象关于直线x=-对称;
其中正确的序号为 .
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【题目】已知函数
(1)若对任意的 恒成立,求实数
的最小值.
(2)若 且关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围;
(3)设各项为正的数列 满足:
求证:
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