Answer 1

(Ⅰ)见解析  (Ⅱ)

解析试题分析：(Ⅰ) 由于 f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．又
f (0)＝1，  f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．
当f (a)≥－1时，取p＝a．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值为f (a)．
当0＜a≤1时，f (a)≥－1，则g(a)是方程f (p)＝1满足p＞a的实根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0满足p＞a的实根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上单调递增，故
g(a)_max＝g(1)＝．
当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故
[0，p]Ì [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为．
考点：导数的性质和应用
点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。