Question

已知F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F₂到直线AF₁的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A点坐标为（m，n），则直线AF₁的方程为 （m+c）y-n（x+c）=0，求出右焦点F₂（c，0）到该直线的距离，可得直线AF₁的方程为ax-by+ac=0，根据A是双曲线上的点，可得b⁴-a⁴＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答： 解：设A点坐标为（m，n），则直线AF₁的方程为 （m+c）y-n（x+c）=0，
右焦点F₂（c，0）到该直线的距离

|n(c+c)|

(m+c)2+n2

=2a，
所以n=

b

a

（m+c），
所以直线AF₁的方程为ax-by+ac=0，
与

x2

a2

-

y2

b2

=1联立可得（b⁴-a⁴）x²-2a⁴cx-a⁴c²-a²b⁴=0，
因为A在右支上，所以b⁴-a⁴＞0，
所以b²-a²＞0，
所以c²-2a²＞0，
即e＞

2

．
故答案为：(

2

，+∞)．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．