Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．给出下列命题：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有3个零点   
（3）（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心  
（4）直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
其中正确命题的编号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
令x=0，则f（-1）=f（1）=-f（1），解得f（1）=0．故（1）正确．
（2）∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x+2）=f（x），即函数的周期为2，
∵f（0）=f（2）=f（-2），f（-1）=f（1），∴f（x）在[-2，2]上至少有5个零点，故（2）错误．
（3）∵函数的周期为2，
∴f（2014）=f（0）=0，即（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（3）正确．
（4）∵f（1）=0，∴（1，0）是函数的一个对称中心，
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．
∴此时函数单调递减，
∴x=1不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（4）错误，
故正确的命题是（1）（3），
故答案为：（1）（3）

点评：本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，单调性和对称性，综合考查函数的性质的综合应用．