Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-x}+a，x≤0}\\{（x-1）^{3}+1，x＞0}\end{array}$，且?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），若对任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，则实数b的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，a）
• D． （-∞，a]

Answer 1

分析 分别求出x≤0时，x＞0时，函数f（x）的值域，再由?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），即为$\sqrt{{x}_{0}}$+a=（x₀-1）³+1有解，运用参数分离和构造函数，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-x}+a，x≤0}\\{（x-1）^{3}+1，x＞0}\end{array}$，
当x≤0时，f（x）=$\sqrt{-x}$+a≥a；
当x＞0时，f（x）=（x-1）³+1递增，可得f（x）＞0．
由?x₀∈[2，+∞）使得f（-x₀）=f（x₀），
即为$\sqrt{{x}_{0}}$+a=（x₀-1）³+1有解，
即为a=（x₀-1）³+1-$\sqrt{{x}_{0}}$，
由y=（x₀-1）³+1-$\sqrt{{x}_{0}}$，x₀∈[2，+∞），
导数为3（x₀-1）²-$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$＞0在x₀∈[2，+∞）恒成立，
即为函数y在x₀∈[2，+∞）递增，
即有a≥2-$\sqrt{2}$＞0，
则函数f（x）的值域为（0，+∞）．
由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立，
可得b≤0．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查分段函数的值域，注意运用单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的值域，考查运算能力，属于中档题．