Question

4．在直角梯形ABCD中，AB=2，CD=CB=1，∠ABC=90°，平面ABCD外有一点E，平面ADE⊥平面ABCD，AE=ED=1．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求二面角C-BE-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）求出BD，利用勾股定理得得AD⊥BD．由平面ADE⊥平面ABCD，得DB⊥AE．AE⊥平面BDE，即可证明AE⊥BE．．
（2）如图，由（1）得CB⊥CD，所以以C为原点，CB，DC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则A（1，-2，0），B（1，0，0），C（0，0，0），E（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D）（0，-1，0）．求出法向量即可求解．

解答 解：（1）因为∠ABC=90°，所以在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
又∵AD=$\sqrt{2}$=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$，∴AE⊥ED．
∵AB²=AD²+BD²，∴AD⊥DB，
∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，AD⊥DB，
∴DB⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，∴DB⊥AE．
∵AE⊥BD，AE⊥ED，DB∩ED=D，∴AE⊥平面BDE，∵BE?平面BDE，∴AE⊥BE．
（2）如图，由（1）得CB⊥CD，所以以C为原点，CB，DC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则A（1，-2，0），B（1，0，0），C（0，0，0），E（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D）（0，-1，0）．
$\overrightarrow{BA}=（0，-2，0），\overrightarrow{CB}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$.$\overrightarrow{BA}=（0，-2，0）$
设面CBE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（0，\sqrt{2}，3）$                                                                                  
设面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
$由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（\sqrt{2}，0，1）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{3}{\sqrt{11}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$，∴二面角C-BE-A的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}）^{2}}=\frac{2\sqrt{22}}{11}$

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求面面角，属于中档题．