Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是一个平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）
（1）|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{c}$可知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$方向相同或相反，根据数量积定义计算即可；
（2）令（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式计算．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$方向相同或相反，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{5}×2\sqrt{5}$=10，或$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{5}×2\sqrt{5}×cos180°$=-10．
（2）∵$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$⊥3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，∴（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=3${\overrightarrow{a}}^{2}$+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即15+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{45}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．