Question

9．已知函数$f（x）=lnx-\frac{x+a}{x}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：x＞0时，$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}＜1$；
（Ⅲ）比较三个数：${（\frac{100}{99}）^{100}}$，${（\frac{101}{100}）^{100}}$，e的大小（e为自然对数的底数），请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）不等式$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}$等价于$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$，令t=x+1，则x=t-1，由x＞0得t＞1，问题等价于：$lnt＞\frac{t-1}{t}$，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）根据$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$，令$x=\frac{1}{100}$，得到${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}$；再根据$\frac{ln（x+1）}{x}＞\frac{1}{x+1}$（x＞0），得到$（1+\frac{1}{x}）ln（x+1）＞1$，判断大小即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{x-（x+a）}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}$，
当a≥0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）＜0得0＜x＜-a，由f'（x）＞0得x＞-a，
所以函数f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：①因为x＞0，不等式$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}$等价于$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$，
令t=x+1，则x=t-1，由x＞0得t＞1，
所以不等式$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$（x＞0）等价于：$lnt＞\frac{t-1}{t}$，即：$lnt-\frac{t-1}{t}＞0$（t＞1），
由（Ⅰ）得：函数$g（t）=lnt-\frac{t-1}{t}$在（1，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，即：$ln（x+1）＞\frac{x}{x+1}$．
②因为x＞0，不等式$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$等价于ln（x+1）＜x，
令h（x）=ln（x+1）-x，则$h'（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，所以h'（x）＜0，
所以函数h（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上为减函数，
所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．
由①②得：x＞0时，$\frac{1}{x+1}＜\frac{ln（x+1）}{x}＜1$
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$，
所以令$x=\frac{1}{100}$，得$100×ln（\frac{1}{100}+1）＜1$，即$ln{（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜1$，所以${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}$；
又因为$\frac{ln（x+1）}{x}＞\frac{1}{x+1}$（x＞0），所以$（1+\frac{1}{x}）ln（x+1）＞1$，
令$x=\frac{1}{99}$得：$100×ln\frac{100}{99}＞1$，所以$ln{（{\frac{100}{99}}）^{100}}＞1$，从而得${（{\frac{100}{99}}）^{100}}＞{e}$．
所以，${（{\frac{101}{100}}）^{100}}＜{e}＜{（{\frac{100}{99}}）^{100}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．