Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E为棱AD的中点．
（1）求证：平面PCE⊥平面PBC；
（2）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PCE⊥平面PBC．
（2）求出平面PCD的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大小．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），B（2，0，0），
C（2，2，0），E（0，1，0），

PB

=（2，0，-2），

PC

=（2，2，-2），

PE

=（0，1，-2），
设平PBC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =2x-2z=0 n • PC =2x+2y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
设平PCE的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC =2a+2b-2c=0 m • PE =b-2c=0

，
取b=2，得

m

=（-1，2，1），
∵

m

•

n

=-1+0+1=0，
∴平面PCE⊥平面PBC．
（2）解：D（0，2，0），

PD

=（0，2，-2），
设平面PCD的法向量

p

=（m，n，q），
则

p • PC =2m+2n-2q=0 p • PD =2n-2q=0

，
取n=1，得

p

=（0，1，1），
又平面PCE的法向量

m

=（-1，2，1），
∴cos＜

m

，

p

＞=

0+2+1

2 × 6

=

3

2

，
∴二面角E-PC-D的大小为30°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．