Question

【题目】已知函数（）．

（1）为的导函数，讨论的零点个数；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到的零点个数；

(2)设，求的最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.

详解：（1），，

，，且当时，，，所以；

当时，，，所以．

于是在递减，在递增，故，

所以①时，因为，所以无零点；

②时，，有唯一零点；

③时，，

取，，则，，

于是在和内各有一个零点，从而有两个零点．

（2）令，，

，，

．

①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意；

②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在上递减，则，不符合题意．

综上，．