Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$解出；
（2）求出b_n，使用错位相减法求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2{n^2}+n-[{2{{（{n-1}）}^2}+（{n-1}）}]=4n-1$．
经检验，n=1时，上式成立．
∴a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）∵a_n=4log₂b_n+3=4n-1，∴b_n=2^n-1．
∴${a_n}•{b_n}=（{4n-1}）•{2^{n-1}}$，n∈N^*．
∴${{T}_n}=3+7×2+11×{2^2}+…+（{4n-1}）•{2^{n-1}}$，①
①×2得：$2{{T}_n}=3×2+7×{2^2}+11×{2^3}+…+（{4n-1}）•{2^n}$，②
∴$2{{T}_n}-{{T}_n}=（{4n-1}）•{2^n}-[{3+4（{2+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）}]=（{4n-5}）{2^n}+5$．
故${{T}_n}=（{4n-5}）{2^n}+5$．

点评 本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．