Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列（要指出首项、公比）；
（2）若c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，与原递推式联立可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，然后利用定义证明数列{b_n}是等比数列；
（2）由数列{b_n}的通项公式求出数列{c_n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：∵S_n+1=4a_n+2，∴当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，
两式相减得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}-2{a_n}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=\frac{{4{a_n}-4{a_{n-1}}-2{a_n}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=\frac{{2{a_n}-4{a_{n-1}}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=2$，
∵当n=1时，S₂=4a₁+2，a₁=1，∴a₂=5，从而b₁=3，
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知${b_n}=3•{2^{n-1}}$，从而${c_n}=3n•{2^{n-1}}$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n=3×2⁰+6×2¹+9×2²+…+3（n-1）×2^n-2+3n×2^n-1，
2T_n=3×2¹+6×2²+9×2³+…+3（n-1）×2^n-1+3n×2ⁿ，
两式相减得：$-{T_n}=3×（{{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）-3n×{2^n}$=$3×\frac{{1-{2^{n-1}}×2}}{1-2}-3n×{2^n}=（{3-3n}）{2^n}-3$，
∴${T_n}=（{3n-3}）{2^n}+3$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．