Question

（1）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2，求数列{a_n}的前n项和；
（2）已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且公比q≠1，a₂，a₈，a₅成等差数列，求证：S₃，S₉，S₆成等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差关系的确定,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得数列{a_n}是等差数列，且公差d=2，由求和公式可得；
（2）由题意可得2a₈=a₂+a₅，进而可得2q⁹=q³+q⁶，代入S₃+S₆=

a1(2-q3-q6)

1-q

化简由等差数列的判定可得．

解答： 解：（1）由a_n+1=a_n+2可得a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，且公差d=2，
又首项a₁=1，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

n(a1+an)

2

=n²；
（2）由题意可得2a₈=a₂+a₅，即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
∵a₁≠0，∴2q⁷=q+q⁴，∴2q⁹=q³+q⁶，
∴S₃+S₆=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

a1(2-q3-q6)

1-q

=

a1(2-2q9)

1-q

=2

a1(1-q9)

1-q

=2S₉，
∴S₃，S₉，S₆成等差数列

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及等差数列的判定，属中档题．