Question

7．已知四棱锥V-ABCD的底面是面积为16的正方形ABCD，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为2$\sqrt{11}$，计算它的高和侧面三角形底边上的高．

Answer 1

分析 由题意：底面是面积为16的正方形ABCD，侧面是全等的等腰三角形，说明该几何体是正四棱锥．由正四棱锥的性质即可求解．

解答 解：如下图所示．作VO为四棱锥V-ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC的中点．连接OB，则VO⊥OM，VO⊥OB．
∵底面正方形ABCD的面积为16，
∴BC=4，BM=CM=2．
则OB=$\sqrt{BM2+OM2}$=$\sqrt{22+22}$=2$\sqrt{2}$．又VB=2$\sqrt{11}$，
在Rt△VOB中，由勾股定理，可得
VO=$\sqrt{VB2-OB2}$=$\sqrt{（2\sqrt{11}）2-（2\sqrt{2}）2}$=6．
在Rt△VOM中，由勾股定理，可得
VM=$\sqrt{VO2+OM2}$=$\sqrt{62+22}$=2$\sqrt{10}$，
即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力．属于基础题．