Question

14．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C₁：ρ=1，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁上的点到曲线C₂距离的最小值；
（Ⅱ）若把C₁上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的$\sqrt{3}$倍，得到曲线${C_1}^′$．设P（-1，1），曲线C₂与${C_1}^′$交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²=1，C₂：y=x+2，再求出圆心到直线距离，由此能求出曲线C₁上的点到曲线C₂距离的最小值．
（Ⅱ）伸缩变换为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，从而曲线${C_1}^′$：$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线${C_1}^′$，得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$．由此能求出|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁：ρ=1，∴曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²=1，
∴圆心为（0，0），半径为r=1，
${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t的C₂：y=x+2，（2分）
∴圆心到直线距离d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，（3分）
∴曲线C₁上的点到曲线C₂距离的最小值为$\sqrt{2}-1$．（5分）
（Ⅱ）∵把C₁上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的$\sqrt{3}$倍，得到曲线${C_1}^′$．
∴伸缩变换为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，∴曲线${C_1}^′$：$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1，（7分）
${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线${C_1}^′$，整理得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$．
∵t₁t₂＜0，（8分）
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．（10分）

点评 本题考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．