Question

已知函数f（x）=

2x+1

2x-1

．
（1）若f（a）=2，求a的值；
（2）证明f（x）在x∈（0，+∞）单调递减；
（3）若x∈（1，4），求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）代入求值；（2）利用单调性定义法证明；（3）利用函数的单调性求函数的值域．

解答： 解：（1）∵f(a)=

2a+1

2a-1

=2，
∴a=log₂3．
（2）证明：f(x)=

2x+1

2x-1

=

(2x-1)+2

2x-1

=1+

2

2x-1

，
任取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=(1+

2

2x1-1

)-(1+

2

2x2-1

)
=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

∵0＜x₁＜x₂，∴1＜2x1＜2x2，
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
（3）由（2）知f（x）在x∈（1，4）单调递减，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
∴

17

15

＜f(x)＜2，
∴f（x）的值域为(

17

15

，2)．

点评：本题考查了函数单调性的证明与单调性的应用求值域．属于中档题．