【题目】已知函数,
在
处取极大值,在
处取极小值.
(1)若,求函数
的单调区间和零点个数;
(2)在方程的解中,较大的一个记为
;在方程
的解中,较小的一个记为
,证明:
为定值;
(3)证明:当时,
.
【答案】(1)单调增区间为;单调减区间为
;3个零点(2)-1(3)见解析
【解析】分析:(1)当时
,求导即可得到单调区间,再利用零点存在定理判定零点即可;
(2)因为,可知
. 因为
,即
,可知
,同理,得到
,即可证明;
(3)要证,即要证
.
设,求导,通过单调性可知
,再设
,求导,通过单调性可知,
,
因为,所以
,
,且
和
分别在
和2.处取最大值和最小值,因此
恒成立,即当
时,
.
解析:解(1)当时,
,
;
当时,
或
;当
时,
;
即函数的单调增区间为
;单调减区间为
;
又,
,
,
,所以
有3个零点.
(2)因为,则
,
可知.
因为,即
,
即
.
可知,
同理,由可知
;
得到;
.
(3)要证,即要证
.
设,则
;当
时,
;当
时,
;
可知;
再设,则
;当
时,
;当
时,
;
可知,.
因为,所以
,
,且
和
分别在
和2处取最大值和最小值,因此
恒成立,即当
时,
.
(3)另证:一方面,易证;(略)
另一方面,当 时,
;
又;
所以,,
且不存在正数,使得其中等号同时成立,故
.
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【题目】已知定义在R上的函数是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)若对任意实数x,不等式f(4x﹣k2x)+f(22x+1﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】某自来水厂的蓄水池有吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水
吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,
小时内供水总量为
吨,其中
.
(Ⅰ)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少? 最少水量是多少吨?
(Ⅱ)若蓄水池中水量少于吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的
小时内,大约有几小时出现供水紧张现象?
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【题目】为备战2016年奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3
乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5
(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图;
(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由;
(3)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,焦距为 2,一条准线方程为
,
为椭圆
上一点,直线
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点的坐标为
,求过
三点的圆的方程;
(3)若,且
,求
的最大值.
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【题目】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(Ⅰ)证明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
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