Question

1．（1）求证：2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$；
（2）若π＜α＜$\frac{3π}{2}$，证明$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$=-$\sqrt{2}$cos$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用1+cosα=2cos²$\frac{α}{2}$及同角三角函数关系式能证明2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
（2）由π＜α＜$\frac{3π}{2}$，利用三角函数的图象和性质可得sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，利用二倍角公式化简所求证明等式左边等于右边即可得证．

解答 证明：（1）2（1+cosα）-sin²α
=2×2cos2$\frac{α}{2}$-1+cos²α
=4cos2$\frac{α}{2}$-1+（2cos2$\frac{α}{2}$-1）²
=4cos2$\frac{α}{2}$-1+（2cos2$\frac{α}{2}$-1）²+4cos4$\frac{α}{2}$-4cos2$\frac{α}{2}$+1
=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
∴2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
（2）∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴左边=$\frac{1+sinα}{-\sqrt{2}cos\frac{α}{2}-\sqrt{2}sin\frac{α}{2}}$+$\frac{1-sinα}{-\sqrt{2}cos\frac{α}{2}+\sqrt{2}sin\frac{α}{2}}$
=$\frac{（1+sinα）（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）}{-\sqrt{2}cosα}$+$\frac{（1-sinα）（sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}）}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{2cos\frac{α}{2}-2sinαsin\frac{α}{2}}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{\sqrt{2}cos\frac{α}{2}（1-2sin\frac{α}{2}）}{-cosα}$
=-$\sqrt{2}$cos$\frac{α}{2}$=右边．
故得证．

点评 本题考查三角函数恒等式的化简证明，解题时要认真审题，注意二倍角公式和同角三角函数关系式的合理运用，注意转化思想的运用，属于中档题．