Question

6．已知函数f（x）=x²-16x+a．
（1）若f（x）在区间[2a，a+5]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间[2，9]上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线x=8在区间[2a，a+5]内部，列出不等式，即可求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间[2，9]上存在零点，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）根据公式，二次函数f（x）=x²-16x+a图象的对称轴为直线x=8，
函数f（x）在区间[2a，a+5]上不单调，
说明直线x=8在区间[2a，a+5]内部
因此列式：2a＜8＜a+5
所以a的取值范围是 3＜a＜4；
（2）x²-16x+a=0，可得-a=x²-16x=（x-8）²-64，
∵2≤x≤9，
∴-64≤-a≤-28，
∴28≤a≤64．

点评 本题考查函数的单调性，考查函数的最值，正确转化是关键．