Question

16．函数f（x）的定义域为R．若f（x+1）是奇函数，f（x-1）是偶函数，则（　　）

• A． f（x-3）是偶函数
• B． f（x-4）是偶函数
• C． f（x）=f（x+4）
• D． f（x+5）是奇函数

Answer 1

分析 由f（x+1）是奇函数，得到f（x+1）=-f（-x+1），又f（x-1）是偶函数，f（-x-1）=f（x-1），由此可得结论．

解答 解：∵f（x+1）是奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1），∴f（x+1）=-f（-x+1），
又∵f（x-1）是偶函数，∴f（-x-1）=f（x-1），
∴f（x+1）=f（-x-3），∴-f（-x+1）=f（-x-3）
∴f（x-3）=-f（x+1），
∴f（x-4）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x），
∴f（x）=f（x+8），
∴f（-x+5）=-f（x-3）=-f（x+5），
∴f（x+5）是奇函数
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．