Question

13．f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x，在（0，1）上是单调递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，问题转化为2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x）≥-a，令g（x）=2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），通过求导得到g（x）的单调性，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），x∈（0，1），
由f′（x）≥0在（0，1）恒成立，
得2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x）≥-a，
令g（x）=2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），
g′（x）=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$sin（$\frac{π}{2}$x），
∵g′（x）在（0，1）递减，且g′（0）＞0，g′（1）＜0，
∴g′（x）在（0，1）存在唯一零点x₀，
∴g（x）在（0，x₀）递增，在（x₀，1）递减，
由$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥-a}\\{g（1）≥-a}\end{array}\right.$，解得：a≥-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考察了函数的单调性、函数恒成立问题，考察导数的应用，是一道中档题．