Question

15．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，n∈N^*．记S_n=C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n．
（1）求S₁，S₂的值；
（2）求所有正整数n，使得S_n能被8整除．

Answer 1

分析 （1）运用二项式定理，化简整理，再由代入计算即可得到所求值；
（2）通过化简得到 S_n+2=3S_n+1-S_n，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．

解答 解：（1）S_n=C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（${C}_{n}^{1}$•$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+${C}_{n}^{2}$•（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²+…+${C}_{n}^{n}$••（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ）-
（${C}_{n}^{1}$•$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$+${C}_{n}^{2}$•（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²+…+${C}_{n}^{n}$••（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（1+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（1+$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，
即有S₁=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$\sqrt{5}$=1；
S₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•3•$\sqrt{5}$=3；
（2）S_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，
S_n+2=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]•
（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）-[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]=3S_n+1-S_n，
即S_n+2=3S_n+1-S_n，n∈N^*，
因此S_n+2除以8的余数，完全由S_n+1，S_n除以8的余数确定，
因为a₁=1，a₂=1，
所以S₁=C₁¹a₁=1，S₂=C₂¹a₁+C₂²a₂=3，S₃=3S₂-S₁=9-1=8，
S₄=3S₃-S₂=24-3=21，S₅=3S₄-S₃=63-8=55，
S₆=3S₅-S₄=165-21=144，S₇=3S₆-S₅=432-55=377，
S₈=3S₇-S₆=1131-144=987，S₉=3S₈-S₇=2961-377=2584，
由以上计算及S_n+2=3S_n+1-S_n可知，数列{S_n}各项除以8的余数依次是：
1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，
它是一个以6为周期的数列，从而S_n除以8的余数等价于n除以3的余数，
所以n=3k，k∈N^*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N^*}．

点评 本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理和不完全归纳，本题属于难题．