Question

8．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且${a_{n+2}}-{a_n}=1+{（-1）^n}$（n∈N₊），则S₁₀₀=（　　）

• A． 0
• B． 1300
• C． 2600
• D． 2602

Answer 1

分析 奇数项：a_2k+1=1+（-1）^2k-1+a_2k-1=a_2k-1，偶数项：a_2k+2=1+（-1）^2k+a_2k=2+a_2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a_2k+1=1+（-1）^2k-1+a_2k-1=a_2k-1，故能求出S₁₀₀．

解答 解：奇数项：a_2k+1=1+（-1）^2k-1+a_2k-1=a_2k-1，
偶数项：a_2k+2=1+（-1）^2k+a_2k=2+a_2k
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2
a₁₀₀=a₂+49×2=100，
S₁₀₀=50×a₁+50×（a₁+a₁₀₀）×$\frac{1}{2}$
=50+50（2+100）×$\frac{1}{2}$=2600．
故选：C．

点评 本题考查数列的递推式，解题时要注意分类思想的合理运用．