Question

17．某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）
（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）；
（2）用频率估计概率，在全市进入决赛的学生中选取三人，其中成绩在[130，150]的学生数为X，试写出X的分布列，并求出X的数学期望及方差．

Answer 1

分析 （1）由题意和频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分．
（2）成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列、数学期望及方差．

解答 解：（1）由题意和频率分布直方图，得：
$\frac{500}{500×20}=0.014$4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴这500名学生中进入决赛的人数为：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
进入决赛学生的平均分为：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴这500名学生中有60人进入决赛，进入决赛学生的平均分为80.5分．
（2）∵进入决赛的60名学生中，成绩在130分以上的学生有20人，
用频率估计概率，则学生成绩在[110，130）之间的概率为$\frac{2}{3}$，
在[130，150]之间的概率为$\frac{1}{3}$，
成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}×（\frac{2}{3}）^{3}×（\frac{1}{3}）^{0}=\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）=\frac{12}{27}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{0}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

∵X～B（3，$\frac{1}{3}$），
∴E（X）=3×$\frac{1}{3}$=1，
D（X）=3×$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．