Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，若f（B）=sin²

B

2

+sin

B

2

cos

B

2

+2cos²

B

2

-

3

2

．
（1）求f（B）的最大值；
（2）当f（B）取得最大值时，求

a

bsin( π 4 +C)

+

2sin2A+2sin2C-1

2 sinAsinC

的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）在△ABC中，利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（B）=

2

2

sin（B+

π

4

），可得f（B）的最大值．
（2）当f（B）取得最大值时，B=

π

4

，故A+C=

3π

4

，求得sinC=cos（

π

4

-A），sinA=sin（

π

4

+C），再利用三角恒等变换把要求的式子，可得结果．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵f（B）=sin²

B

2

+sin

B

2

cos

B

2

+2cos²

B

2

-

3

2

=

1-cosB

2

+

1

2

sinB+cosB-

1

2

=

1

2

cosB+

1

2

sinB=

2

2

sin（B+

π

4

），
故f（B）的最大值为

2

2

．
（2）当f（B）取得最大值时，B=

π

4

，故A+C=

3π

4

，sin（B+

π

4

）=1，
sinC=sin（

3π

4

-A）=sin（

π

4

+A）=cos（

π

4

-A），sinA=sin（

3π

4

-C）=sin（

π

4

+C），
∴

a

bsin( π 4 +C)

+

2sin2A+2sin2C-1

2 sinAsinC

=

sinA

sinBsin( π 4 +C)

+

2sin2A+2cos2( π 4 -A)-1

2 sinAcos( π 4 -A)

=

sinA

sinAsinB

+

2sin2A+cos( π 2 -2A)

2 sinA•( 2 2 cosA+ 2 2 sinA)

=

1

sinB

+

2sinA(sinA+cosA)

sinA(cosA+sinA)

=

1

2 2

+2=

2

+2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，属于中档题．