Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是f（x）=

1

2

+log₂

x

1-x

图象上任意两点，设点M（

1

2

，b）为AB的中点，若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N⁺，则n≥2，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知得到AB的中点M的横坐标为定值1，进一步得到f（x₁）+f（x₂）=1，然后采用倒序相加法求S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

）的值．

解答： 解：∵M（

1

2

，b）为AB的中点，∴

x1+x2

2

=

1

2

，即x₁+x₁=1，
∴x₁=1-x₂或x₂=1-x₁
∴b=

1

2

(y1+y2)=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

(

1

2

+log2

x1

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

)
=

1

2

(1+log2

x1

1-x1

+log2

x2

1-x2

)=

1

2

(1+log2

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=

1

2

(1+log2

x1x2

x2x1

)=

1

2

．
∴M点的纵坐标为定值

1

2

，则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

），
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)，
两式相加得：2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+…+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]=1+1+…+1=n-1．
∴Sn=

n-1

2

，n∈N⁺，则n≥2．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了倒序相加法求数列的和，是中档题．