Question

设a，b为正实数，现有下列命题：

①若a²－b²＝1，则a－b<1；

②若－＝1，则a－b<1；

③若|－|＝1，则|a－b|<1；

④若|a³－b³|＝1，则|a－b|<1.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

Answer 1

　①④

[解析]　本题考查了等式与不等式之间的逻辑关系

对于①，由a²－b²＝1，则(a－b)(a＋b)＝1，

则a－b>0故a>b，又a>0，b>0，则a＋b>a－b，若a－b≥1，则a＋b>1，则(a＋b)(a－b)>1这与已知条件(a－b)(a＋b)＝1矛盾，故①成立．

对于②，不妨取a＝2，b＝，则a－b＝2－>1，

故②不正确．

对于③，不妨取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5>1，故③不正确，

对于④，由|a³－b³|＝1知a≠b，不妨设a>b，若|a－b|≥1，而a≥b＋1，又b>0，则a>1，∴a²＋ab＋b²>1，

由|a³－b³|＝|a－b||a²＋ab＋b²|＝|a－b|(a²＋ab＋b²)

故|a³－b³|>1，这与已知条件矛盾，

解决问题时直接去解不好处理的情况下可选择间接解法例如反证法，对于不正确命题可举一个反例即可．