Question

13．已知f（x）=mx-alnx-m，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$（e=2.71828…），其中m，a均为实数．
（1）求g（x）的极值；
（2）设a=2，若对?给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁，t₂（t₁≠t₂）使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．
（2）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m＞0时，要?t₁，t₂使得f（t₁）=f（t₂），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当m＞$\frac{2}{e}$，利用g（x）在（0，e）上的值域f（x）在$（{0，\frac{2}{m}}）和（{\frac{2}{m}，e}）$上的值域，推出关系式，即可求出m的范围．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{ex}{e^x}$，
∴g′（x）=$\frac{-e（x-1）}{e^x}$，
当g′（x）＞0时，解得x＜1，当g′（x）＜0时，解得x＞1，
∴g（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；
（2）由（1）得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，e]单调递减，g（x）_max=g（1）=1
所以，g（x）∈（0，1]，
又f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，
当m≤0时f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，不符合题意．
当m＞0时，要?t₁，t₂使得f（t₁）=f（t₂），
那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即0＜$\frac{2}{m}$＜e
得m＞$\frac{2}{e}$，且函数f（x）在（0，$\frac{2}{m}$）上单调递减，在（$\frac{2}{m}$，e]上单调递增，
由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在$（{0，\frac{2}{m}}）和（{\frac{2}{m}，e}）$上的值域，
∴$（{\frac{2}{m}，e}）$内，$\left\{{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{m}）≤0}\\{f（e）≥1}\end{array}}\right.⇒m≥\frac{3}{e-1}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．