Question

15．设双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的两焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上的一点，若PF₁与双曲线的一条渐近线平行，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（　　）

• A． $-\frac{35}{12}$
• B． $-\frac{11}{12}$
• C． $-\frac{7}{12}$
• D． $-\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得两焦点的坐标和渐近线方程，可设PF₁与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$平行，求得平行线的方程代入双曲线的方程，求得P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
得F₁（-2，0），F₂（2，0），
渐近线为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
由对称性，不妨设PF₁与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$平行，
可得${l_{P{F_1}}}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}-{y^2}=1}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+2}）}\end{array}}\right.$得$P（{-\frac{7}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，
即有$\overrightarrow{P{F_1}}=（{-\frac{1}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（{\frac{15}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$+（-$\frac{\sqrt{3}}{12}$）²=-$\frac{11}{12}$．
故选B．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线平行的条件，以及联立直线和双曲线求交点，考查运算能力，属于中档题．