Question

6．已知$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x+a，（a∈R）$
（1）若x∈R，求f（x）的单调增区间；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最大值为3，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若方程f（x）=m在$[0，\frac{3π}{4}]$上恰有两个不等实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 将f（x）整理成f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
（1）根据函数的单调性解不等式求出函数的递增区间即可；
（2）求出f（x）的最大值是3+a=3，求出a的值是0；
（3）将a=0代入，求出f（x）的表达式，求出特殊点的函数值，结合函数的草图，求出m的范围即可．

解答 解：f（x）=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1
（1）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈z$
得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈z$，
∴f（x）的单调递增区间为$[{\;}\right.kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}\left.{\;}]，k∈z$；
（2）$x=\frac{π}{6}$时，$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
函数f（x）有最大值3+a，
∴3+a=3，∴a=0；
（3）由（2）得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
列表得：

X	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{5}$	$\frac{3π}{4}$
f（x）	2	3	1	-1	1-$\sqrt{3}$

结合函数f（x）在$[0，\frac{3π}{4}]$的草图，
可得：$m∈（-1，1-\sqrt{3}]∪[2，3）$..

点评 本题考查了三角函数问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．