Question

20．已知函数f（x）=x-sinx．若直线l与函数y=f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，证明：直线l的斜率k＞0．

Answer 1

分析 求出直线斜率k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，根据f（x）递增得到即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，求出  $\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，从而求出k＞0．

解答 证明：（Ⅰ）直线l与函数y=f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）两点，
∴k=$\frac{{{y}_{2}-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
∵f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
∴$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，
∴k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＞0，
即直线l的斜率k＞0；

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．