为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题.某校从2015-2016学年高二年级1000名学生(其中走读生450名.住宿生550名)中.采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间的数据.按照以下区间分为八组①[0.30).②[30.60).③[60.90).④[90.120).⑤[120.150).⑥[150.180).⑦[180.210).� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2015-2016学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．
（1）求n的值；
（2）如果“学生晚上学习时间达到两小时”，则认为其利用时间充分，否则，认为利用时间不充分；对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	合计
走读生	30
住校生		10
合计

据此资料，是否有95%的把握认为“学生利用时间是否充分”与“走读、住校”有关？
（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率．

附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

p（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.83

分析（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；
（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；
（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．

解答解：（1）由图可知：学习时间少于60分钟的频率为P₁+P₂=0.05，
由题意：n×0.05=5，∴n=100
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，
从而2×2列联表如下：

	利用时间充分	利用时间不充分	合计
走读生	30	15	45
住校生	45	10	55
合计	75	25	100

由2×2列联表中的数据
k=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030，
因为3.030＜3.841，
所以没有95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；
（3）记第①组2人为A₁、A₂，第②组的3人为B₁、B₂、B₂，则“从5人中抽取2人”
所构成的基本事件空间Ω=“A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃、B₁B₂、B₁B₃、B₂B₃”，共10个基本事件；
记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，
则事件A所包含的基本事件有：A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃共6个基本事件，
∴$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为$\frac{3}{5}$．

点评本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，考查了概率的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．

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