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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是______.
连接OA,OB,OP,依题意,O、P、A、B四点共圆,
∵∠APB=60°,
∠APO=∠BPO=30°,
在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,
∴cos∠AOP=
b
|OP|
=
1
2

∴|OP|=
b
1
2
=2b,
∴b<|OP|≤a,
∴2b≤a,
∴4b2≤a2,即4(a2-c2)≤a2
∴3a2≤4c2
c2
a2
3
4

3
2
≤e,又0<e<1,
3
2
≤e<1,
∴椭圆C的离心率的取值范围是[
3
2
,1).
故答案为:[
3
2
,1).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点,则该椭圆的离心率为(  )
A.
5
3
B.
2
3
C.
2
2
D.
5
9

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆方程为
x2
16
+
y2
m2
=1(m>0)
,直线y=
2
2
x
与该椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,则m的值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

F1、F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为
3
的正三角形,则b的值是(  )
A.2
2
B.2C.
412
D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知经过椭圆4x2+8y2=1右焦点F2的直线与椭圆有两个交点A,B,F1是椭圆的左焦点,则△F1AB的周长为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设F1、F2分别为椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于M、N两点,则△MNF2的周长为(  )
A.8
2
B.4
2
C.8D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆的一个焦点到相应准线的距离为
5
4
,离心率为
2
3
,则椭圆的短轴长为(  )
A.
5
2
B.4
5
C.2
5
D.
5

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为4
2
.则椭圆C的方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设直线l过点P(0,3),和椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
顺次交于A、B两点,则
AP
PB
的取值范围是______.

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