Question

20．已知函数f（x）=|x-1|-1，g（x）=-|x+1|-4．
（1）若函数f（x）的值不大于1，求x的取值范围；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式先化为|x-1|≤2，再去掉绝对值化为-2≤x-1≤2，从而得到解集．
（2）由题意得 不等式|x-1|+|x+1|+3≥m+1恒成立，故左边的最小值大于或等于m+1，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值．

解答 解：（1）由题意知，|x-1|-1≤1，即|x-1|≤2，-2≤x-1≤2，∴-1≤x≤3，
∴x得取值范围是[-1，3]．
（2）由题意得 不等式f（x）-g（x）≥m+1恒成立，即|x-1|+|x+1|+3≥m+1 恒成立．
∵|x-1|+|x+1|+3≥|（x-1）-（x+1）|+3=5，∴5≥m+1，∴m≤4，
故m的取值范围 （-∞，4]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．