Question

判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

Answer 1

解　方法一　(直接法)

逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集为空集．

判断如下：

二次函数y＝x²＋(2a＋1)x＋a²＋2图象的开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)＝4a－7.

∵a<1，∴4a－7<0.

即二次函数y＝x²＋(2a＋1)x＋a²＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．

方法二　(先判断原命题的真假)

∵a、x为实数，且关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集非空，

∴Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)≥0，即4a－7≥0，

解得a≥，∵a≥>1，

∴原命题为真．

又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．

方法三　(利用集合的包含关系求解)

命题p：关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0有非空解集．

命题q：a≥1.

∴p：A＝{a|关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)²－4(a²＋2)≥0}＝，

q：B＝{a|a≥1}．

∵A⊆B，∴“若p，则q”为真，

∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．

即原命题的逆否命题为真．