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    某市环保所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境综合污染指数f（x）与时间（小时）的关系为f（x）=|
    1
    2
    sin（
    π
    32
    x    ）+
    1
    3
    -a|+2a，x∈[0，24]，其中a为气象有关的参数，且a∈[0，1]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
    （Ⅰ）令t=
    1
    2
    sin（
    π
    32
    x    ），x∈[0，24]，求t的取值范围；并求函数M（a）关于a的解析式；
    （Ⅱ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？
    考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
    专题：三角函数的图像与性质
    分析：（Ⅰ）由x∈[0，24]求得∴
    π
    32
    x    的范围，进一步求得sin（
    πx
    32
    ）的范围即为t的范围；由a的范围求得-
    1
    3
    ≤a-
    1
    3
    ≤
    1
    6
    ＜
    1
    2
    ，然后写出分段函数f（t）=|t-（a-
    1
    3
    ）|+2a=
    -t+3a-
    1
    3
    ，t∈[0，a-
    1
    3
    ]
    t+a+
    1
    3
    ，t∈[a-
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]
    ，由分段函数的值域得答案；
    （Ⅱ）由（Ⅰ）求出M（a）的最大值，判断最大值与2的大小关系得答案．
    解答： 解：（Ⅰ）∵x∈[0，24]，∴
    π
    32
    x    ∈[0，
    3π
    4
    ]，
    ∴sin（
    πx
    32
    ）∈[0，1]，故t∈[0，
    1
    2
    ]；
    ∵a∈[0，1]，∴-
    1
    3
    ≤a-
    1
    3
    ≤
    1
    6
    ＜
    1
    2
    ，
    ∴f（t）=|t-（a-
    1
    3
    ）|+2a=
    -t+3a-
    1
    3
    ，t∈[0，a-
    1
    3
    ]
    t+a+
    1
    3
    ，t∈[a-
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]
    ，
    当t∈[0，a-
    1
    3
    ]时，f（t）max=f（0）=3a-
    1
    3
    ；
    当t∈[a-
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]，f（t）max=f（
    1
    2
    ）=
    5
    6
    +a．
    而f（0）-f（
    1
    2
    ）=2a-
    7
    6
    ，
    当0≤a≤
    7
    12
    ，f（0）≤f（
    1
    2
    ），M（a）=f（
    1
    2
    ）=
    5
    6
    +a；
    当
    7
    12
    ＜a≤1，f（0）＞f（
    1
    2
    ），M（a）=f（0）=3a-
    1
    3
    ．
    ∴M（a）=
    5
    6
    +a，a∈[0，
    7
    12
    ]
    3a-
    1
    3
    ，a∈[
    7
    12
    ，1]
    ，
    （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，M（a）的最大值为
    8
    3
    ，它大于2，
    ∴目前市中心的综合污染指数已经超标．
    点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数最值的求法，关键是对题意的理解，是中档题．
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    3
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    A、
    3
    4
    B、
    2
    3
    C、
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    5
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    5
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