Question

2．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，若x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，4）．

Answer 1

分析 不等式x+y＞m恒成立?（x+y）_min＞m．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4，当且仅当y=x=2时取等号．
∵不等式x+y＞m恒成立?（x+y）_min＞m．
∴m∈（-∞，4），
故答案为：（-∞，4）．

点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．