Question

16．如图，四边形ABCD是边长为$\sqrt{2}$的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，$DE=BF=\frac{3}{5}CG$．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得$GH=\frac{3}{5}CG$．
（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；
（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，说明∠PAO为AP与平面ABCD所成角，通过计算勾股定理证明AP⊥PH．结合PH⊥EF．证明PH⊥平面AEF．
（Ⅱ）证明AC⊥平面BDEF．求解${V_{A-BFED}}=\frac{1}{3}×{S_{BFED}}×|AO|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，推出点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，通过V=V_A-BFED+V_H-EFBD，求解即可

解答 解：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，
∴OP⊥DE∴OP⊥平面ABCD，
∴∠PAO为AP与平面ABCD所成角，∴∠PAO=60°．
在Rt△AOP中，$AO=1，OP=\sqrt{3}，AP=2$∴$CG=\frac{{5\sqrt{3}}}{3}，CH=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
在Rt△AHC中，$AH=\sqrt{A{C^2}+C{H^2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
梯形OPHC中，$PH=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．∴AP²+PH²=AH²
∴AP⊥PH．
又EH=FH，
∴PH⊥EF．
又AP∩EF=P，
∴PH⊥平面AEF．
（2）由（1）知，OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AC．
又AC⊥BD，BD∩OP=O，∴AC⊥平面BDEF．∴${V_{A-BFED}}=\frac{1}{3}×{S_{BFED}}×|AO|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∵CG∥BF，BF?平面BFED，CG?平面BFED，∴CG∥平面BFED，
∴点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，
∴${V_{H-BFED}}=\frac{1}{3}×{S_{BFED}}×|CO|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
$V={V_{A-BFED}}+{V_{H-EFBD}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．