Question

1．如图，在四棱锥A-BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．
（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）若CD=2，求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取线段AC的中点F，连接BF．通过BF⊥AC，CD⊥BF，证明BF⊥平面ACD，推出EM∥BF，然后证明EM∥平面ABC．
（Ⅱ）连接MF，证明BE∥平面ACD，推出BE∥MF，证明四边形BEMF为平行四边形，然后证明CD⊥AB，推出AB⊥平面BCDE，求解棱锥的底面面积，求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取线段AC的中点F，连接BF．
因为AB=BC，所以BF⊥AC，
因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，又AC∩CD=C，所以BF⊥平面ACD，
因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，又EM?平面ABC，BF?平面ABC，
所以EM∥平面ABC．
（Ⅱ）解：连接MF，因为BE∥CD，BE?平面ACD，CD?平面ACD，所以BE∥平面ACD，
又平面BEMF∩平面ACD=MF，所以BE∥MF，
由（Ⅰ）知EM∥BF，所以四边形BEMF为平行四边形，所以BE=MF．
因为F是AC的中点，所以M是AD的中点，
所以$BE=MF=\frac{1}{2}CD=1$．
因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，
又BC⊥AB，所以AB⊥平面BCDE，
所以四棱锥A-BCDE的体积${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}{S_{BCDE}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×2=2$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．