Question

10．如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P-ABCD，点M的棱PB上，且PM=$\frac{1}{2}$MB．
（1）求证：PD||平面MAC；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于N，连结MN，推导出MN∥PD，由此能证明PD∥平面MAC．
（2）以A为原点，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，交AC于N，连结MN，
依题意知AB∥CD，∴△ABN～△CDN，∴$\frac{BN}{ND}=\frac{BA}{CD}=2$，
∵PM=$\frac{1}{2}$MB，∴$\frac{BN}{ND}=\frac{BM}{MP}=2$，
∴在△BPD中，MN∥PD，
又∵PD?平面MAC，MN?平面MAC，
∴PD∥平面MAC．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PA⊥AD，PA?平面PAD，∴PA⊥平面PAD，
又AD⊥AB，从而PA，AD，AB两两垂直，
以A为原点，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意AP=AD=1，AB=2，又PM=$\frac{1}{2}$MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），M（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），C（1，1，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
∵PA⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面BAC的一个法向量，
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面MAC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
设二面角M-AC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角M-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．