Question

12．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和点B（2，-2）且圆心C在直线l：x+3y+3=0上．
（1）求圆C的方程．
（2）若P是直线3x+4y-21=0上的动点，PM，PN是圆C的两条切线，M，N为切点，设|PC|=t，把四边形PMCN的面积S表示为t的函数，并求出该函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求出圆心坐标，即可求圆C的方程．
（2）利用勾股定理求出PM，即可求出S，t的最小值为C到直线的距离，即可求出该函数的最小值．

解答 解：（1）设圆心为（-3a-3，a），则（-3a-3-1）²+（a-1）²=（-3a-3-2）²+（a+2）²，∴a=-1，
∴圆C的方程为x²+（y+1）²=5；
（2）PM=$\sqrt{{t}^{2}-5}$，∴S=2×$\frac{1}{2}×PM×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}•\sqrt{{t}^{2}-5}$，
t的最小值为C到直线的距离，即d=$\frac{|0-4-21|}{5}$=5，
∴S的最小值=$\sqrt{5}•\sqrt{25-5}$=10．

点评 本题考查圆的方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．