Question

【题目】已知椭圆:的离心率为，左顶点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线：与椭圆交于不同两点,且满足．求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过作，垂足为，求的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题中条件及可得，所以，所以椭圆的标准方程为；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，消去未知数得到关于的一元二次方程，判别式，设，则，，由有，，，所以，整理得，即，整理可得：，代入后可以得到，所以或，因为，所以，过定点； （Ⅲ）由（Ⅱ）知直线恒过定点，

，，所以的轨迹是以为直径的圆（除点外），则的轨迹方程为

．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知

因此椭圆的标准方程为．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设

把，代入得：，4分

，

5分

若，则

8分

，，直线：，即直线恒过定点．9分

（Ⅲ）设，由（Ⅱ）知直线恒过定点，，，所以

的轨迹是以为直径的圆（除点外），则的轨迹方程为．

12分