Question

已知函数f（x）=

x2+x+1，x≥0 2x+1，x＜0

．若f（sinα+sinβ+sin36°-1）=-1，f（cosα+cosβ+cos36°+1）=3，则cos（α-β）=（　　）

• A、

  1

  2

• B、2
• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据题意，先判定x≥0时f（x）≥1，x＜0时f（x）＜1，并由此求出sinα、sinβ、sin36°以及cosα、cosβ、cos36°的关系式，从而求出cos（α-β）的值．

解答： 解：∵f（x）=

x2+x+1，x≥0 2x+1，x＜0

，
∴x≥0时，x²+x+1≥1，
x＜0时，2x+1＜1；
又∵f（sinα+sinβ+sin36°-1）=-1，f（cosα+cosβ+cos36°+1）=3，
∴2（sinα+sinβ+sin36°-1）+1=-1，
即sinα+sinβ=-sin36°；    ①
（cosα+cosβ+sin36°+1）²+（cosα+cosβ+cos36°+1）+1=3，
得cosα+cosβ+cos36°+1=1，
即cosα+cosβ=-cos36°；  ②
∴①²+②²得，
2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

，
即cos（α-β）=-

1

2

．
故选：C．

点评：本题考查了分段函数的应用以及三角恒等变换的应用问题，解题的关键是求出sinα、sinβ、sin36°以及cosα、cosβ、cos36°的关系式，是综合题．