Question

10．如图，已知正三角形BCD外一点A满足AB=AD，E，F分别是AB，BC的中点，且EF⊥DE，则∠BAC=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 取BD的中点M，连结AM，CM，则BD⊥平面ACM，于是BD⊥AC，由中位线定理得EF∥AC，由EF⊥DE，故AC⊥DE，于是AC⊥平面ABD，得出AC⊥AB．

解答 解：取BD的中点M，连结AM，CM，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AM⊥BD，CM⊥BD，又AM?平面ACM，CM?平面ACM，AM∩CM=M，
∴BD⊥平面ACM，∵AC?平面ACM，
∴BD⊥AC，
∵E，F是AB，BC的中点，∴EF∥AC，
∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
又DE?平面ABD，BD?平面ABD，DE∩BD=D，
∴AC⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴AC⊥AB．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，三线合一是等腰三角形中构造垂线的常用依据，属于中档题．