Question

抛物线y=x²在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是______．

Answer 1

由y=x²得，y^′=2x，所以y^′|_x=1=2，则抛物线y=x²在x=1处的切线方程为y=2x-1．
令z=x+2y，则y=-

1

2

x+

z

2

．
画出可行域如图，
所以当直线y=-

1

2

x+

z

2

过点（0，-1）时，z_min=-2．
过点（

1

2

，0）时，zmax=

1

2

．
故答案为[-2，

1

2

]．